分析法证明不等式(精选多篇)

第一篇：分析法证明不等式

分析法证明不等式

已知非零向量a,b,a⊥b，求证|a|+|b|/|a+b|<=√2

【1】

∵a⊥b

∴ab=0

又由题设条件可知，

a+b≠0(向量)

∴|a+b|≠0.

具体的，即是|a+b|>0

【2】

显然，由|a+b|>0可知

原不等式等价于不等式：

|a|+|b|≤(√2)|a+b|

该不等式等价于不等式：

(|a|+|b|)²≤².

整理即是：

a²+2|ab|+b²≤2(a²+2ab+b²)

【∵|a|²=a².|b|²=b².|a+b|²=(a+b)²=a²+2ab+b²

又ab=0,故接下来就有】】

a²+b²≤2a²+2b²

0≤a²+b²

∵a，b是非零向量，

∴|a|≠0,且|b|≠0.

∴a²+b²>0.

推上去，可知原不等式成立。

作为数学题型的不等式证明问题和作为数学证明方法的分析法，两者皆为中学数学的教学难点。本文仅就用分析法证明不等式这一问题稍作探讨。

注:“本文中所涉及到的图表、公式注解等形式请以pdf格式阅读原文。”

就是在其两边同时除以根号a+根号b，就可以了。

下面我 ……此处隐藏1989个字……l1)2xg)(l?

（3）、2?（2）、x2?12x?11（4）、?1x??2 x2?1x

a2?b2aba?b22、若a,b?r，且ab?0，则在①?ab②??2③ab??? 2ba2

a?b2a2?b2

④?这四个式子中，恒成立的个数是??22

3、已知a,b,c均大于1，且logac?logbc?4，则下列式子正确的是

（1）、ac?b（2）、ab?c（3）、bc?a（4）、ab?c

4、设m?xcos??ysin??n?xsin??ycos?，比较大小：mn____xy

5、若x?3y-1?0，则2?8的最小值为___________

6、比较大小：lg9?lg11______1

三、简答题：

7、已知a,b,c?r。求证：

8、已知a,b?r且a?b。求证：

?2222xy?bccaab???a?b?c abcab?ba?a?b

9、已知a、b、c是互不相等的实数。求证：

a4?b4?c4?a2b2?b2c2?c2a2?abc(a?b?c)

10、已知a,b,c?r，且abc?1。求证：(1?a)(1?b)(1?c)?8

11、已知a,b,c?r。求证：

12、已知a、b、c均是正数，且a?b?c?1。求证：（1?a)(1-b)(1-c）?8abc

13、已知a、b、c是不全相等的正数。

求证： a(b?c)?b(c?a)?c(b?a)?6abc

222222??b?c-ac?a-ba?b-c???3 abc